De la matematica clasica a la matematica moderna: Hilbert y el esquematismo kantiano.

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De la matematica clasica a la matematica moderna: Hilbert y el esquematismo kantiano.

Resumen: En este articulo se examina la manera en que Hilbert elabora su primer formalismo al investigar los fundamentos de la geometria. El interes se centra en la forma en que elabora una nueva concepcion de las teorias matematicas. Se contrasta la postura de Hilbert con el constructivismo de Kant, el cual perduro en la filosofia de las matematicas durante mucho tiempo. Para ello, en la primera parte se examina la manera en que Kant explica la demostracion geometrica y se muestra el vinculo entre su explicacion y la teoria de esquemas que el mismo sostiene. Tambien se expone la concepcion subyacente a los Grundlagen der Geometrie de Hilbert, y se busca reconstruir el camino que siguio hasta alcanzar esa concepcion. En particular se examina el lugar que ocupan la geometria proyectiva y el principio de dualidad en sus reflexiones. Por ultimo, se apunta a la idea de que el primer formalismo de Hilbert constituye una generalizacion necesaria de la filosofia matematica de Kant.

Palabras clave: dualidad, fundamentos de la geometria, elementos ideales, metodo axiomatico

Abstract: This essay examines the manner in which Hilbert worked out his first formalism in his investigations on the foundations of geometry. To elucidate these views, Hilbert's position is compared with that of Kant, who set forth a constructive notion of "geometrical objects" which endured in the Philosophy of mathematics for a long time. In the first part, the author explores the way in which Kant explains the notion of proof in classical geometry and clarifies how his account relates to his theory of schematism. Next, the conception underlying Hilbert's Grundlagen der Geometrie is presented and an attempt is made to recreate the path he followed until he reached his point of view. In particular this article explores the tole that projective geometry and the principle of duality played in his reflections. Finally, Kant's ideas are contrasted with those of Hilbert in his first formalism, pointing toward the view that the latter constitutes a necessary generalization of Kant's mathematical philosophy.

Key words: duality, foundations of geometry, ideal elements, axiomatic method

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Cuando se habla de la concepcion formalista de David Hilbert suele pasarse por alto que esta se desarrollo basicamente en dos etapas. En la primera de ellas --o etapa geometrica--, Hilbert se enfoco en los fundamentos de la geometria adoptando la siguiente postura: en su forma axiomatica, las teorias matematicas no expresan un conjunto de verdades acerca de un dominio especifico de objetos; mas bien, constituyen una red o entramado de relaciones logicas entre conceptos definidos implicitamente por los axiomas. Tales entramados pueden ser compartidos por sistemas de objetos de muy diversa indole. En particular, la geometria es un sistema hipotetico deductivo, el cual solo depende de relaciones entre objetos espaciales determinadas por los axiomas. (1)

En una segunda etapa, que aqui llamaremos aritmetica, Hilbert fue mas alla del punto de vista anterior hasta llegar a la siguiente conclusion: toda teoria axiomatica se puede refinar al punto de ya ni siquiera proponer un entramado de relaciones logicas entre conceptos, sino simples esquemas de relacion entre simbolos. Esta idea, concebida en la decada de 1920 como una extension de su punto de vista inicial, exige la estricta formalizacion (mecanizacion) de los metodos deductivos de las matematicas, al punto en que los aspectos semanticos ceden su lugar a una mera sintaxis que convierte la inferencia logica en un juego combinatorio de formulas sujeto a reglas precisas.

Trataremos basicamente con la primera de estas dos etapas. El texto se inicia con una exposicion de las principales ideas de Kant acerca de la geometria, brindando especial atencion a su teoria de esquemas. A continuacion se examina la manera en que esta teoria entro en conflicto con el desarrollo de las matematicas en el siglo XIX y la manera en que Hilbert reelaboro la nocion de objeto matematico en general.

Si alguna utilidad ha de tener este estudio, espero que sea, por una parte, ofrecer una valoracion distinta de la escuela de Hilbert mostrando que sus preocupaciones fueron mas alla de la inquietud por la certeza matematica; (2) y por la otra, destacar la importancia de la teo...

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