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¿Qué tan matemática es la lógica matemática? *.
Resumen: La lógica matemática es matemática en cuanto que usa herramientas matemáticas. En este sentido, la lógica matemática es matemática en el mismo sentido que lo es, digamos, la mecánica newtoniana. En ambos casos, el método es matemático, pero las ciencias mismas no lo son, pues su objeto de estudio pertenece a una realidad objetiva e independiente. En particular, las herramientas matemáticas que usa la lógica simbólica contemporánea --tanto en su simbolismo como en su cálculo-- se crearon originalmente para el desarrollo algebraico de la geometría, y luego fueron adaptadas al resto de las matemáticas y la lógica. A estas herramientas se les llama formales, pues permiten el cálculo con formas generales.
Palabras clave: formal, lógica formal, lógica simbólica, análisis ********** Tal y como su título lo indica, el objetivo de este artículo es responder la pregunta: ¿Qué tan matemática es la lógica matemática? (1) En sí misma, la respuesta es sencilla: la lógica matemática es matemática en cuanto que usa herramientas matemáticas. En este sentido, la lógica matemática lo es en el mismo sentido que lo es, digamos, la mecánica newtoniana. En ambos casos, el método es matemático, pero ellas mismas --las ciencias mismas-- no son matemáticas, pues su objeto de estudio pertenece a una realidad independiente. Qué tan independiente sea esta realidad depende de la posición que uno quiera tomar respecto del carácter objetivo de la lógica. Para acentuar el contraste entre objeto de estudio y herramientas, presentaré el quehacer de la lógica matemática en el marco de un realismo lógico de tipo metodológico. Este marco realista se desarrolla en la sección 1 de este artículo, para posteriormente, en la sección 2, explicar con más detalle la separación entre el objeto de estudio de la lógica y sus herramientas matemáticas. La sección 3 está dedicada a explicar la naturaleza matemática de estas herramientas. Aclarar su naturaleza servirá también al propósito de puntualizar en qué sentido se dice que esta lógica matemática es formal y simbólica. Para lograr esto, trazaré una liga histórica entre el desarrollo de lo formal y lo simbólico en matemáticas y el origen y desarrollo de la lógica moderna. Si bien creo que lo dicho en las primeras dos secciones de este artículo no es en lo absoluto original ni innovador, sino, por el contrario, expresa sólo la opinión común de la mayoría de los lógicos filosóficos actuales, esta última sección, en contraste, tiene el objetivo de desmantelar ciertos mitos sobre el carácter formal y simbólico de la lógica matemática. 1. El marco realista 1.1. Realismo lógico En una discusión reciente, (2) mi colega Ivan Antonowitz usó una excelente analogía para explicar el objeto de estudio de la lógica. Dijo que los pensamientos son a la lógica lo que la visión es al espectro electromagnético. Mientras que, sin el auxilio de instrumentos, lo que captamos a través de la vista es sólo un sector del espectro electromagnético, así también nuestro pensamiento, por sí sólo, es incapaz de captar la totalidad de las conexiones lógicas entre teorías, proposiciones, conceptos, etc. Esta afirmación contiene de manera condensada la tesis central de lo que se ha llamado realismo lógico: la idea de que las conexiones lógicas, el objeto de estudio de la lógica, tienen una existencia objetiva, cuyo descubrimiento y estudio sistemático es el objetivo de la ciencia lógica. Michael D. Resnik (2000) caracteriza esta noción de realismo lógico de la siguiente manera: El realismo lógico está comrpometido con al menos dos tesis: primero, es una cuestión de hecho la de si algo es una verdad lógica, una inconsistencia lógica o si implica lógicamente alguna otra cosa. (Podemos formular esto de una manera menos controversial diciendo que las afirmaciones sobre verdad lógica, etc., son verdaderas o falsas.) Segundo, que tales hechos (o los valores de verdad de tales afirmaciones) son independientes de nosotros, de nuestra estructura psicológica, de nuestras convenciones lingüísticas y de nuestras prácticas inferenciales. En otras palabras, el realismo lógico afirma que los asuntos de la ló...See the full content of this document
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